2020年 4月 1日 「6.1.1 単称化と存在化」 を読む × 閉じる>


 本節では、単項述語論理の法則として、量化を使った次の 3つの関係を記述しています。なお、量化記号については、 「1.2.5 量化記号」 を参照してください

  (1) 全称
  (2) 存在
  (3) 単称

 「全称」 命題 というのは、量化記号 ∀ を使って、「すべての x について、命題 f(x) が真である」 ことを ∀xf(x) として記述します。「存在」 命題 というのは、量化記号 ∃ を使って、「或る x について、命題 f(x) が真である」 ことを ∃xf(x) として記述します──言い替えれば、「f(x) である x が存在する」 ということ。なお、「存在」 命題のことを 「特称」 命題とも云いいます。「単称」 命題というのは、量化されていない個々の具体例 (定数) を使って、「この葉は緑色である」 というような命題です──自由変数 (アルファベット x, y) に対して、定数は アルファベット a, b,... を使います。「全称」「存在」 および 「単称」 に関して、以下の関係が成立します。

  (1)「全称」 の単称化 ∀xf(x) → f(a).
  (2)「全称」 の存在化 ∀xf(x) → ∃xf(x).
  (3)「単称」 の存在化 f(a) → ∃xf(x).

 「全称」 の単称化は、「条件 f に関して、『すべて』 の モノ を対象にすれば、個々の モノ も対象になる」ということですね。「全称」 の存在化は、「条件 f に関して、『すべて』 の モノ を対象にすれば、『いくつか (少なくとも 1つ)』 の モノ も対象になる」 ということです。「単称」 の存在化は、「条件 f に関して、個々の モノ を対象にすれば、そういう条件を満たす対象が 『少なくとも 1つ』 は存在する」ということですね。「全称」 の単称化、「全称」 の存在化および 「単称」 の存在化の関係を図式にすれば、以下のようになります。

    ∀xf(x) → f(a) → ∃xf(x).

 この関係を自然言語の例を使って説明してみます。「犬は忠実である」 という日本語を英訳すれば、次の 4つの英文が考えられるでしょう。

  (1) A dog is faithful animal.
  (2) The dog is faithful animal.
  (3) Dogs are faithful animal.
  (4) The dogs is faithful animal.

 以上の 4つの英文は、高等学校の英語文法では 「『種』 を表す」 ときに使うと教わりましたが、それぞれ表現が違うのだから当然ながら 「意味」 も違います。(1) は、「犬」 という クラス を言及しています──すなわち、「全称」 命題です、「犬」 全体が faitful であることが true とされて、その中から任意の 1匹の犬を選んできても faithful であることは true です。(2) は、「特定」 された犬を想定した ほぼ 「単称」 命題です──すなわち、a dog に値を代入した文です。ちなみに、the は that (指示) の弱い形で 「あの犬」 (例えば、我が家で飼っている犬) を暗示しています。(3) は、「犬」 という クラス を切断 (分割) した部分集合です──すなわち、Some dogs are faithful, others are not. という意味で、「存在」 命題です。(4) も、多数・複数の具体的な犬を想定している 「存在」 命題ですが、the dogs と明示しているので部分集合のなかの メンバー (具体例) を外延として枚挙しなければ無意味なので、(3) を使うほうが無難でしょうね。「犬は忠実である」 という日本語を英訳するなら、Logic を学んだ人たちは、きっと、(3) の英訳を使うでしょう。ちなみに、本 ホームページの今回の定期更新では、「反 文芸的断章」 の中で 「全称・存在・単称」 について言及しているので、本節を読んだあとに一読してみてください。 □

 




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