ここに記載した 2冊は、入門者が ロジック を網羅的に学習するための書物です。ロジック を網羅的に学習するという点から言えば、クラウス の書物が最適ですが、いっぽうで、モデル という観点に立って、モデル の考えかたを鳥瞰するために、グロスリー の書物を選びました。
　もし、ここに記載されている書物が 「簡単すぎる」 と思われるのであれば、以下の書物を読んで下さい。

　● 「数の体系と超準 モデル」、田中一之、裳華房。
　● 「ゲーデル と 20世紀の論理学 （1）〜 （4）」、田中一之 編、東京大学出版会。
　　　（小生は、（4） を、まだ、入手していない。）

　モデル を検討するときに中核となる定理が コンパクト 性定理 （レーヴェンアイム・スコーレム・タルスキー の定理） です。第一階の述語論理式で記述された 「構造」 を 「理想的な」 状態に拡大して検討して、再び、もとの 「構造」 にもどる やりかた が、数学上、使われますが--その やりかた を 「超準 モデル」 と云いますが--、その やりかた を実現しているのが コンパクト 性定理です。
　コンパクト 性定理を証明するには、以下の 2つの やりかた があるそうです。

　（1） ゲーデル の完全性定理を使う。
　（2） ウルトラ・プロダクト （超積、無限直積） を使う。

　私は、モデル を学習するとき、ゲーデル の完全性定理から入ったので、（1） のほうが理解しやすかったのですが、もし、数学を得意としているけれど、モデル を学習したことがないひとであれば、（2） のほうが理解しやすいでしょうね。

　コンパクト 性定理を使うのであれば、当然ながら、第一階の述語論理 （言い換えれば、完全性を示す・なんらかの公理系） を前提にしていないければならないでしょうね。言い換えれば、命題論理か述語論理を前提にしていなければならないということです。

　述語論理の恒真性は、トートロジー （命題論理の恒真） のうえに、さらに、量化公理を配慮しなければならないのですが、述語論理と命題論理をむすぶ 「基本定理」 として 「ケーニヒ の補題」 が大切な役割を演じています--実際、ゲーデルの 完全性定理では、この補題が 「暗黙のうちに」 使われています。「ゲーデル と 20世紀の論理学 （2）」 では、タブロー 法を使って、まず、命題論理の完全性定理を証明して、次に、タブロー 法を述語論理に拡張して、ヒルベルト の演繹体系を導入して、ゲーデル の完全性定理を証明しています。私は、個人的にいえば、この道筋 （完全性定理を使った証明） で コンパクト 性を考える （導入する） ほうが理解しやすいです。

　ロジック を数学へ応用するときに やっかいな問題点が量化記号 （∀ と ∃） の除去だそうです。私は、数学の専門家ではないので、その点 （量化記号除去の数学的応用） について、「へー、そうなんだ」 というほどの関心しかないのですが、たしかに、ヒルベルト・ベルナイス の 「数学の基礎」 を私が読んだときに抱いた感想は、（かれらほどの天才たちが） 量化記号を除去するために、「ε-定理」 を導入して、「階数」 を、いちいち、除去して変形して--除去可能性を論証して--、推論を有限回の手続きのなかで確立しようとしていた丁寧な・慎重な態度に対する驚嘆でした （シロート の私にしてみれば、「簡単に変形できる一般手続きがないのかしら」 という感想でした--笑、そして苦笑）。

　本 ページ で推薦した入門書には、コンパクト 性定理に関する記述が ほとんど ないので、もし、モデル を 「本格的に」 学習するのであれば、かならず、コンパクト 性定理を いちどは学習して下さい。