2001年 9月30日 作成 「空集合」 と仮言命題 >> 目次 （テーマごと）
2006年12月 1日 補遺 　



　論理定項の 「ならば （⇒）」 を使って作られた命題を 「仮言命題 （あるいは、内包命題）」 という。
　「ならば （⇒）」 は以下の 2つの論理定項を使って記述できる。

　（1） 「かつ （∧）」
　（2） 「でない （¬）」

　つまり、「ｐ ⇒ ｑ」 は 「¬（ｐ ∧ ¬ｑ）」 として記述できる。
　とすれば、「¬（ｐ ∧ ¬ｑ）」 は、「¬ｐ ∨ ｑ」 として記述できる (*1)。

　仮言命題のことを内包命題と呼ぶ こともあるが、「内包」 とは、集合では、「x ∈ Aならば x ∈ B」となるとき、A は B の部分集合であるという。つまり、「ｐ ⇒ ｑ」 は、（集合の） 「ｐ ∈ ｑ」 と同値である (*2)。

　「ｐ ⇒ ｑ」 が 「ｐ ∈ ｑ」 と同値である ということは、言い換えれば、「真」 なる メンバー の集合のなかには 「偽」 なる メンバー がない、ということを意味している。

　以下 に、仮言命題 （ｐ ⇒ ｑ） の真理値表を示す。（T は True、F は False を示す。）



ｐｑｐ ⇒ ｑ
ＴＴＴ
ＴＦＦ
ＦＴＴ
ＦＦＴ


　「真」 なる メンバー の集合のなかには 「偽」 なる メンバー がないということは、「ｐ ＝ Ｔ, ｑ ＝ Ｆ」 が 「（ｐ ⇒ ｑ） ＝ Ｆ」 となる理由である。

　とすれば、「x ∈ A ならば x ∈ B」 の A として 「空集合 （φ）」 を代入すれば、「x ∈ φ ならば x ∈ B」 という文を作ることができる。とすれば、以下の論理が成立する。

　（1） x ∈ φ は 「偽」 である。
　（2） x ∈ B は、「真」 のときもあれば、「偽」 のときもある。
　（3） とすれば、「x ∈ φ ならば x ∈ B」 の真理値は、「Ｆ、Ｔ」 あるいは 「Ｆ、Ｆ」 となる。
　（4） 「Ｆ、Ｔ」 あるいは 「Ｆ、Ｆ」 は （真理値表から判断すれば 、） 常に 「真」 である。
　（5） したがって、空集合は任意の部分集合である、という扱いは正しいことになる。

　以上 のようにして、空集合の扱いは、論理 （仮言命題） の真偽の定義と一致している。

　(*1) と (*2)：　以下の 2つの論理式は、数学の証明のなかで、多々、使われるので、覚えておいたほうがよい。

　（1） ｐ ⇒ ｑ ≡ ¬ｐ ∨ ｑ.
　（2） ｐ ⇒ ｑ ≡ ｐ ∈ ｑ.

　



[ 補遺 ] （2006年12月 1日）

　空集合 （null set） は、便宜上、有限集合と考えたほうが、数学的構造を記述するには役立つことを、前回、述べたし、数学的構造を 「現実の世界」 に適用したときに、空集合の 「意味」 は 「多義」 になることも述べた。すなわち、空集合を 「一者集合 （存在）」 として考えたとき、「undefined」 と 「unknown」 の 2つの 「意味」 を示す。

　空集合を演算対象にすれば、2値論理 （「真」 および 「偽」 の 2つの値を使う論理） を超えて、3値論理 （「真」、「偽」 および 「null」） あるいは 4値論理 （「真」、「偽」、「unknown」 および 「undefined」） を使わなければならない。ただ、null を演算対象にしたときに、もし、3値論理を使えば、以下の点に注意しなければならない。

　（1） null の論理否定 （¬ N） は、null である。
　（2） true かつ null は、null である。（false かつ null は、false である。）
　（3） true または null は、true である。 （false または null は、null である。）

　したがって、データ 演算 （集合論演算） のなかで--3値論理を前提にして--、null を温存して、たとえば、SQL 言語を使って、「NOT IN」 句や 「NOT EXIST」 句を使ってはいけない。




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