2001年12月31日 作成 ブール 代数 （その 2） >> 目次 （テーマごと）
2007年 3月 1日 補遺 　



　今回は、ｆ (ｐ∨ｑ) が ｆ (ｐ)＋ｆ (ｑ)−ｆ (ｐ)・ｆ (ｑ) になることを証明する。

　まず、ド・モルガン の法則を思い出してほしい （以下に記述してある）。

　　（1） ¬（ｐ∧ｑ）≡¬ｐ∨¬ｑ
　　（2） ¬（ｐ∨ｑ）≡¬ｐ∧¬ｑ

　さて、ド・モルガン の法則を使って、両辺の否定を求める。

　¬（ｐ∨ｑ）≡¬ｐ∧¬ｑ　⇒　¬｛¬（ｐ∨ｑ）｝≡¬（¬ｐ∧¬ｑ）　⇒　ｐ∨ｑ≡¬（¬ｐ∧¬ｑ）.

　次に、ブール 代数の以下の 2つを使う。

　　（1） ｆ (¬ｐ)＝１−ｆ (ｐ)
　　（2） ｆ (ｐ∧ｑ）＝ｆ (ｐ)・ｆ (ｑ)

　　さて、以上の式を使って、証明は以下の順に行う。

　　（1） 「ｐ∨ｑ」 は 「∧」 を使った式に変換できる。

　　　ｆ (ｐ∨ｑ)＝ｆ ｛¬（¬ｐ∧¬ｑ｝＝１−ｆ (¬ｐ∧¬ｑ).

　　（2） 次に、「∧」 を使った式は、ｆ (ｐ)・ｆ (ｑ) に変換できる。

　　１−ｆ (¬ｐ)・ｆ (¬ｑ)＝１−｛１−ｆ (ｐ)｝・｛１−ｆ (ｑ)｝＝ｆ (ｐ)＋ｆ (ｑ)−ｆ (ｐ)・ｆ (ｑ).

　　したがって、ｆ (ｐ∨ｑ)＝ｆ (ｐ)＋ｆ (ｑ)−ｆ (ｐ)・ｆ (ｑ).

　単純に言い切ってしまえば、2つの集合の 「結び （∪）」 のなかから、（ダブっている） 「交わり （∩）」 を排除した式である、と思えばよい [ ベン 図を描いてみれば、可視的に （直感的に） 理解できる ]。

　こんな （ブール 代数の） 証明をやって、（実地の技術として） 役に立つとは思えない、と思っている人々がいるなら、考え直したほうがいい。なぜなら、この ブール 代数は RDB の internals （「AND」 あるいは 「OR」 を使った複合検索のために生成される traversal-table） が使っている。「思考の訓練 （数学のための数学） のために」 「ベーシックス」 を綴っているのではないことを忘れないでほしい。□

　



[ 補遺 ] （2007年 3月 1日）

　「佐藤正美の問わず語り （論証表の作りかた）」 で、以下の論法が間違いであることを述べました。

　　[ 前提 ] すべての A は、C である。
　　[ 前提 ] すべての B は、C である。
　　[ 結論 ] すべての B は、A である。

　
　その間違いを集合論を使って証明しましたが、ブール 代数を使って、間違いを証明することもできます。
　以上の （妥当ではない） 推論を論理式で記述すれば、以下の形になります。

　　{ (A ⇒ C) ∧ (B ⇒ C) } ＝ B ⇒ A.

　妥当な推論は、以下の形です。

　　{ (A ⇒ C) ∧ (B ⇒ C) } ＝ { (A ∨ B) ⇒ C }.

　さて、この論理式が正しいことを ブール 代数を使って証明できますか。
　以下に証明を示します。

　左辺は、以下のようになります。

　　{ (A ⇒ C) ∧ (B ⇒ C) } ＝ { f (A ⇒ C)・f (B ⇒ C) }
　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝ (1 − a ＋ ac) (1 − b ＋ bc)
　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝ 1 − a − b ＋ ab ＋ ac ＋ bc − abc.

　右辺は、以下のようになります。

　　{ (A ∨ B) ⇒ C) } ＝ 1 − f (A ∨ B) ＋ f (A ∨ B)・f (C)
　　　　　　　　　　　　　＝ 1 − (a ＋ b − ab) ＋ (a ＋ b − ab) c
　　　　　　　　　　　　　＝ 1 − a − b ＋ ab ＋ ac ＋ bc − abc.

　左辺と右辺が同じ式になるので、左辺と右辺は同値です。
　頭のなかで考えている思考 （論理） が計算式として機械的に演算できるというのは妙趣ですね。




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