| 2002年 3月 3日 作成 | 量化の論理法則 | >> 目次 （テーマごと） |
| 2007年 5月 1日 補遺 | ||
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「S-P」 形式 （1つの主語と 1つの述語） という命題論理では、たとえば、以下の論理を解析できない。 S１ is on S２.
つまり、「S-P」 形式のほかに、多くの主語の間に関係が成立する論理形式がある。 「a は b に対して関係 R にある」 R は、Relation の省略形である）。
関係 「aRb」 は、「判断」 ではない。「aRb」 は 2つの変項 （a と b） の命題関数である [ R (a, b) ]。 2項述語論理式では、量化の論理法則は以下のように成立する （具体的な エレメント を a と b とする）。
（1） ∀x∀yＰ(x, y) ⇒ ∀yＰ(a, y) ⇒ ∃x∀yＰ(x, y) ⇒ ∃xＰ(x, b) ⇒ ∃x∃yＰ(x, y). 端的に言えば、以下のような論理法則が成立する。
（1） ∀x∀yＰ(x, y) ⇒ ∃x∀yＰ(x, y). 論理否定をとれば、
（1） ¬｛∀x∀yＰ(x, y)｝ ≡ ∃x∃y¬Ｐ(x, y).
すべての量化記号を論理式の外側に （冠頭に） 置くことができる。
論理否定では、量化記号 （∀ と ∃） が逆になると覚えておけばよいのだが、証明の考えかたは、全称の否定と存在の否定を、それぞれ、ひとつずつ、繰り返せばよい （前回の 「全称化」 と 「存在化」 を思い出してほしい）。
以上の推論は、（「単称化」 と 「存在化」 の論理法則を知らなくても、直感的に感知できる） 当然と言えば当然の推論だが、数学では、記号列を操作して飛躍のない推論をしなければならない。
そういう記号列の操作技術を習得しなければ、「原典」 を直接に読むことができないから、常に、他人から解説してもらって初めて、「原典のおおざっぱな考えかた」 を感じることができる、というように後塵を拝するしかないし、「原典」 を自ら正確に解析することができない。したがって、他人の作った方法を上手に使いこなすことができても、所詮、真似事に過ぎない。 次回は、記号操作の応用問題 （例題） を扱ってみる。□ |
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[ 補遺 ] （2007年 5月 1日）
「量化の論理法則」 を知っていなければならないと私が痛切に感じたのは、（本 エッセー のなかで言及しましたが、） 「数学の基礎 （ヒルベルト・アッケルマン 共著）」 を読んだときでした。この書物では、「冠頭標準形」 を まず 作って、それから 「冠頭」 の量化を外しながら、有限回の演算のなかで 「メタ 数学」 を証明しようとした書物です。いくつかの証明はできているのですが、すべての式が そういうふうに証明できた訳ではないし、時を同じくして、ゲーデル が 「不完全性定理」 を証明したので、ヒルベルト の狙いが実現できないことが証明されました。ちなみに、私は、この書物 （「数学の基礎」） を読んでみて、いくつか理解できない点 （証明を追跡できない点） が いまだ 残っています。 ただ、この書物 （「数学の基礎」） は、私のような数学の シロート が 「量化の論理法則」 を 「実地に」 学習するためには役立つ書物だと思います。実際、私は、この書物のほかに、「量化の論理法則」 を 「本式に」 学習した書物を知らない （ブール 代数や ド・モルガン の法則は、ほかの書物を読んでも、しょっちゅう 使いますが）。「数学の基礎」 は、数学の シロート にとって、毛頭、読みやすい書物ではないのですが、量化の考えかた （「全称化」 「存在化」 および 「単称化」） を学習するために、豊富な証明式が示されているので、もし、「本気で」 数学 （数学基礎論） を学習しようと思うのであれば、ぜひとも、読んでみて下さい。 |
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