「冠頭標準形を省くのは 『論理』（数学基礎論） の最大の論点 [ 問題点 ] に言及しないことになってしまう」 というふうに私が前述したのは、冠頭標準形は いわゆる 「ゲーデル の定理」 に関わっているからです──「ゲーデル の定理」 といえば、ふつう、ゲーデル の 「不完全性定理」 のことを云います。いっぽう、ヒルベルト は、集合論と全数学の無矛盾性の絶対的証明をするために、次の 3点を立脚点にした 「ヒルベルト の プログラム」 を示しました──

　　　　1. 形式化 （公理や定理を記号を使って表現する [ 第一階の述語論理 ]

　　　　2. 証明論 （数学的理論を一段高い観点から証明する [ メタ 数学 ]

　　　　3. 有限の立場 （有限個の記号列を有限個の操作によって実行可能にする）

　
　これらの実現のために、ヒルベルト は、ベルナイス と共著で 「数学の基礎」 を執筆しました──そして、この著作には、冠頭標準形が オンパレード です！ しかし、「メタ 数学」 は実現不可能であることが 「ゲーデル の定理」 で証明されたのです。なお、「数学の基礎」 に記載されている証明式のなかで、私は いまでも わからない式が いくつもあります （苦笑）。

　本節に至るまでに説明してきた量化記号の法則は、個体変数 （x, y,...） を束縛する法則でした。しかし、個体変数だけにかぎらないで、述語変数 （f, P,...） に対しても全称・存在の量化記号を適用することも考えられます。個体変数に対する述語論理を 「第一階の述語論理」 と云い、述語変数に対して量化を適用した述語論理を 「広義の述語論理」 と云います。たとえば、数学的帰納法の公理を考えてみます── y が x の次の数であるとして [ S (x, y) と記述するとして ]、後続関係を論理式で記述すれば次のようになります^（注）。

　　　　[ P (1) ∧ ∀x ∀y { P (x) ∧ S (x, y) → P (y) } ] → ∀x P (x).

　この論理式のなかで、P について全称記号をつけなければ [ ∀P にならなければ]、法則 （公理） としての帰納法にならない。しかし、この広義の述語論理に対しては、完全な公理系は存在しないことが証明されています──その証明が 「ゲーデル の定理」 です。自然数の公理系 （数学的構造）は、N （ペアノ の公理系） があって、第一階述語論理の公理系には PM （ラッセル・ホワイトヘッドの 公理系） や H （ヒルベルト・ベルナイス の公理系） があるけれど、広義の述語論理では、必要な定理をすべて導くような公理系は存在しない、ということ。そして、「ゲーデル の定理」 を起点にして、計算可能関数 （一般帰納的関数） が提示され、コンピュータ が誕生することになった──「ゲーデル の定理」 は、われわれの職場を創ってくれた故郷 （ふるさと） なのです。ただ、そこまで踏み込んで説明しはじめると、数学 （数学基礎論） そのものの話になるので、数学の シロート である私には任が重すぎて [ 私の才量では無理なので ]、冠頭標準形の説明を ほぼ省いたわけです。ご了承のほどを。