数学者──数学基礎論を専門にしていない 「普通の」 数学者──が どのようにして 「完全性定理」 を学習するかは、数学の シロート である私には 皆目 想像できないけれど、我々 シロート が 「完全性定理」 を学習するときには先ず数学基礎論の入門書を読んで そこに記述されている説明を読んで、「完全性定理」 が証明したこと および その証明の やりかた の大略を学ぶというのが普通の学習法でしょうね。入門書のなかで説明されている証明法は、ゲーデル の論文を直接に逐次註釈したのではなくて、「一般完全性定理」 （「強完全性定理」 とも云う） を説明していることが多いようです──すなわち、「公理系 T （述語論理） が無矛盾ならば、T の可算 モデル が存在し、かつ モデル が存在すれば、その形式的体系は無矛盾である」 という証明です、そのために 「一般完全性定理」 は 「モデル の存在定理」 とも云われています。私が最初に 「完全性定理」 を学習したときに読んだ 「デーゲル の世界」 （廣瀬 健・横田一正 共著、海鳴社） では その証明法が記述されています。ちなみに 「ゲーデル の世界」 には、付録として 「完全性定理」 の翻訳が収録されているので、ゲーデル の論文を （翻訳ですが） 直接に読むことができます （私は ちゃんと読みました）。

　「一般完全性定理」 は、「T の モデル が存在すれば T が無矛盾であることと同値である」 という証明です。私は 「ゲーデル の世界」 を最初に読んだとき、狭義の 「完全性定理」 （恒真 ＝ 証明可能性） との関係が追跡しにくかった （それは当然なことで、数学の シロート が一読してわかるような定理ではないでしょう [ 笑 ] ）。完全性を証明するには、無矛盾ならば モデル が存在することを示せばいい。我々 シロート は単純に次のように考えればいいでしょうね──

　（1） T ⊢ ￢A ⇒ { T, ￢A } は無矛盾である。

　（2） A が モデル M で恒真である ⇒ ￢A は モデル M で充足的でない。

　（3） T は無矛盾である ⇒ T は モデル をもつ。

　（4） 証明可能性とは、T ⊢ ￢A ⇒ { T, ￢A } は任意の モデル M で充足的である。
　　　かつ、その対偶の ￢A は T の任意の モデル M で充足的でない。

　（5） T が空集合のときが述語論理の完全性である。
　　　（述語論理の完全性とは、「⊢ A ⇒ A は恒真である」）。