「性質」 のことを 「述語」 ということもあるが、「性質」 と 「述語」 は違う。単項述語論理では、「性質＝述語」 だが、多項述語論理では、述語は関係と同値である （「述語＝関係」）。すなわち、対象を 「共通の性質」 で総括して１つの集合を形成するなら、 単項述語論理式 P (x) の Ｐ は 「述語＝性質」 であるが、単項述語論理式 P (x) のなかの変項が 2項になれば、P (x, y) として 2項述語論理式になる。一般的にいえば、変項が 2つ以上の命題関数を一括して多項述語論理式という。2項述語論理式 P (x, y) の述語 Ｐ は、x と y との関係を記述するので、「x と y の関係の述語」 あるいは単純に x と y の 「関係」 という。「関係 （Relation）」 は、数学的には、「関数」 である。

　述語論理を使った 「個体」 の記述を考えてみれば、たとえば、ラッセル 氏の記述法では、「『1960年代の英国女王』が存在する」 という主張は、以下のことを前提にする。

　　（1） 或る人間 x が 1960年代に存在している。
　　（2） その x は、英国人である。
　　（3） その x は、女性である。
　　（4） その x は、王である。
　　（5） その x は、ただ 1つのみ存在する。

　以上の前提がすべて 「真」 であれば、x に対して、「1960年代の英国女王」 という名称を付与することができるというのが ラッセル 氏の意味で、「複合的なもの」 である。この考えかたは、述語論理の基礎になっている。

　いっぽうで、「関係の論理 （aRb）」 という領域がある。2つの主語のあいだに成立する関係を 「aRb」 として記述する。「aRb」 は、「a は b に対して、関係 R にある」 と読む。関係 R は、Relation の省略形である。

　述語論理は集合論で翻訳可能である。たとえば、「x は、女性である」 という論理形式は、「女性である」 という性質をもつ個体の集合として翻訳できる。すなわち、P (x) という単項述語論理式は、それに対応する集合を作ることができる。単項述語論理式 P (x) のなかの変項が 2項になれば、P (x, y) として、2項述語論理式になる。2項以上--いっぱんに、多項と云うが （n 項とも云う）--の述語論理式 P (a₁, a₂,..., a_n) を多項述語論理式 （あるいは、n 項述語論理式） と云い、多項述語論理式は、集合論を使って、「関係の論理」 に翻訳できる。すなわち、「関係の論理 (aRb)」 を R (a, b) として考えれば、多項述語論理式 P (x, y) と同型である。なお、「関係の論理」 は、当初、シュレータ゛ 氏や ト゛・モルカ゛ン 氏らが整えたが--私 （佐藤正美） は、古い文献まで遡って、「関係の論理」 を 「関係の論理」 として学習したが--、現代では、多項述語論理のなかで扱われている。多項述語論理式の一般形は、次のように記述される （「『論理 テ゛ータヘ゛ース 論考』 を読む」 のなかで、後述されているので、後日、再度、扱う）。

　　　　R {s₁ ∈ X₁, s₂ ∈ X₂,..., s_n ∈ X_n ∧ P (s₁, s₂,..., s_n)}.

　この式で、s は個体 （「項」 とも云う） を示し、X は、集合を示している。すなわち、たとえば、「s₁ ∈ X₁」 は、「s₁ が X₁ の メンハ゛ー である」 ことを示している。そして、上述した ラッセル 氏の記述法が、この一般形に対応する。すなわち、以下のように、考える。なお、文中、「≡」 という記号は、「同値である」 ことを示している。

　　（1） 或る人間 x が 1960年代に存在している。≡ P (s₁) ≡ s₁ ∈ X₁.
　　（2） その x は、英国人である。≡ P (s₂) ≡ s₂ ∈ X₂.
　　（3） その x は、女性である。≡ P (s₃) ≡ s₃ ∈ X₃.
　　（4） その x は、王である。≡ P (s₄) ≡ s₄ ∈ X₄.
　　（5） その x は、ただ 1つのみ存在する。

　そして、R {s₁ ∈ X₁, s₂ ∈ X₂, s₃ ∈ X₃, s₄ ∈ X₄} として記述される個体 （主体） が ただ 1つのみ存在することを主張する。この考えかた （多項述語論理と集合論） を使って、或る テ゛ータヘ゛ース 構造を作った人物が E.F. コット゛ 氏である。その テ゛ータヘ゛ース 構造が、「リレーショナル・テ゛ータヘ゛ース （関係型 テ゛ータヘ゛ース）」 である。

　ここでは、「内包 （implication） と外延 （extension）」 および 「周延 （distribution）」 という概念を覚えてほしい。単純に言い切ってしまえば、「内包」 とは 「性質、述語」 で、「外延」 とは 「集合」 である。つまり、前述したように、或る性質を使って、集合を作る。述語論理は、集合論に翻訳可能であることを前述したが、述語を性質とみなして、外延を作って論理の検証をするやりかたを 「内包-外延 の論理学」 とも云う。

　「共通の性質」 をもつ個体をあつめて、集合を作る。すなわち、1つの概念は、「メンハ゛ー （個体） と集合」 という単位で考える。メンハ゛ー （個体） に関する性質のことを 「周延的な性質」 といい--言い換えれば、上述したように、この性質を使って、集合を作るのだが--、集合に関する性質のことを 「集合的な性質」 という。

　「個体 （実 テ゛ータ） と その集合」 を対象にする述語論理を 「第一階の述語論理」 という。いっぽう、集合を メンハ゛ー にして、さらに、その集合を作ることができる。すなわち、「集合的な性質」 を使って、さらに、上位の集合を作ることができる。たとえば、以下を考えてみる。

　　　　ａ_１ は男である。
　　　　ａ_２ は男である。
　　　　ｂ_１ は女である。
　　　　ｂ_２ は女である。

以上の個体を対象にして、以下の集合を作る。

　　　　男 ｛ａ_１, ａ_２｝.
　　　　女 ｛ｂ_１, ｂ_２｝.

　ここまでを、「第一階の述語論理」 と云う。
　さらに、男の集合を メンハ゛ー にして、たとえば、「男である性質」 を メンハ゛ー にして、「性質の性質」 を作ることができる （これを第二階の述語論理）。そして、さらに...というふうに、集合を メンハ゛ー にして、さらなる集合を作ることができる。いっぱんに、「第二階の述語論理」 以上の述語論理を 「高階の述語論理」 と云う。これを数学的に記述すれば、以下の記法である。

　　　　P (x）.
　　　　F (P).

　P (x) は、「個体と集合」 を示す 「第一階の述語論理」 である。F (P) は、「集合の集合 （あるいは、性質の性質）」 を示す 「第二階の述語論理」 である。

　命題論理では、「真理値表 （truth table）」 を使って 「真・偽」 を検証できる一般手続きがあるが、述語論理には、「真・偽」 を判断する一般手続きがない。述語論理では、「真・偽」 を判断するために、（第一階の述語論理であれば、） 外延を作る。すなわち、集合を作って、例外がないかどうかを調べる。あるいは、高階の述語論理では、「証明」 という手続きを使う。

　この段落で記述したことは、「論理 テ゛ータヘ゛ース 論考」 のなかに綴られていない。ただ、この段落に述べられている点が、「論理 テ゛ータヘ゛ース 論考」 を執筆した理由の 1つである。ここで、私は、「認知」 を提起している。
　「構造」 は、「個体と関係」 を使って記述されるが、「個体」 を どのようにして 「認知」 するのか--あるいは、「認知」 できるのか--という点を私は確認している。「個体」 を 「認知」 する やりかた には、以下の 2つがある。

　　（1） 述語論理の考えかた （「性質」 を主体に考える ラッセル 氏の やりかた）
　　（2） 命題論理の考えかた （ウィトケ゛ンシュタイン 氏が提示した 「『記号』 の構造を分析する」 やりかた）

　TM （Ｔ字形 ER手法） は、当初、ウィトケ゛ンシュタイン 氏の 「論理哲学論考」 を底本にして作られた。「論理哲学論考」 の中核思想とも云える概念は、以下の文であると私は判断している （以下に引用する翻訳文は、坂井秀寿 氏の訳である [ 「論理哲学論考」、法政大学出版局、1968年 ]）。

　　4. 1432
　　「複合記号 'aRb' は、『a が b に対して、関係 R にある』 ということを語っている。」 これは正しくない。
　　「『'a' は 'b' に対して、ある関係にある』 ということは aRb ということを語っている。」 これが正しい。

　「論理哲学論考」 の考えかたは、後年、「哲学探究」 によって否定されたが、上述した 4.1432 の考えは、一貫して変わっていないと私は判断する。「哲学探究」 が否定した点は、 「『論理哲学論考』が 「記号と現実的事実のあいだに成立していると要請した 『写像理論』」 であった。「哲学探究」 では、4.1432 の考えは、「言語 ケ゛ーム （意味の使用説）」 として、いっそう、強化されたと私は判断している。
　拙著 「論理 テ゛ータヘ゛ース 論考」 は、まさに、ウィトケ゛ンシュタイン 氏の転回を反映するために執筆された。すなわち、4. 1432 の前提として、写像 （意味の対応説） を捨て、合意 （意味の使用説） を導入するために、拙著 「論理 テ゛ータヘ゛ース 論考」 を執筆した。

　4. 1432 では、正しいとされる文には、'a'　や 'b' というふうに 引用符 （'） が使われている理由は、（引用符のない 「a や b」 が これらの記号が指示している対象のことをいうのに対して、） 「ことば （記号）」 としての語-言語のことを示しているからである。すなわち、ウィトケ゛ンシュタイン 氏の狙いは、言語分析にある。そして、言語の 「意味」 が成立する 「原因」 を分析するために、「論理哲学論考」 では、現実的事実と記号とのあいだに写像が要請された。しかも、私が 「原因」 という語を使ったように、だれも否定できない因果関係を前提にして、理想言語 （人工言語） を対象にしていた。しかし、「哲学探究」 では、写像が否定されて、「反応と適用」 という行為が 「（ことばの） 意味」 の前提とされ、「日常言語」 を対象にしている。

　TM （Ｔ字形 ER手法） は、当初、個体を認知するために 「identifier」 を要請して、「identifier」 として 「コート゛ 体系のなかに定義されている独立した番号」 を使い、写像を前提にして、「情報 （画面、帳票などのなかに記述されている文）」 を分析すれば、現実的事実を示すことができると考えていた。すなわち、（「identifier」 使用の理由を示さないまま、） 写像を前提にして、「情報」 の構造を作ろうとしていたのである。そのために、「identifier」 に対して適切な訳語が思い浮かばないままでいた--というのは、それをまじめに考えてはいなかったから。
　そして、「論理 テ゛ータヘ゛ース 論考」 を執筆して、TM （Ｔ字形 ER手法） の前提を、「意味の対応説」 から 「意味の使用説」 に移して、「合意」 概念を中核思想にするようになったが、それでも、「論理 テ゛ータヘ゛ース 論考」 を執筆したときには、「identifier」 に対して適訳を与えることができないでいた。「論理 テ゛ータヘ゛ース 論考」 を出版して、TM （Ｔ字形 ER手法） の前提を変更して、TM を実地に使っているなかで、「identifier」 の訳語として、「認知番号」 を使うようになった。

　ラッセル 氏流の考えかたを使った テ゛ータ 設計法が コット゛ 関係 モテ゛ル である。
　いっぽう、TM （Ｔ字形 ER手法） は、ウィトケ゛ンシュタイン 氏流の考えかたを使った。