第 8章では、以下の 3人の思想を まとめてみた。

　　（1） ウィトゲンシュタイン
　　（2） ゲーデル
　　（3） チューリング

　
　第 2章と第 6章が、第 8章の導入部になっている。　第 1章では、「数学の哲学」 に関する歴史を まとめてある。第 1章の登場人物のなかで主役は、以下の 3人である。
　　（1） カントール
　　（2） ツェルメロ
　　（3） ラッセル

　
　カントール は 「集合論」 を導入した--この集合論を、現代数学では、「素朴集合論」 という。
　集合論には、パラドックス （自己自身をふくむ集合） があった。

　集合論の パラドックス を回避するために、ツェルメロ は 「安全基準」 を設けた。
　ツェルメロ は、｛ｘ｜ｘ∈Ａ｝ の代わりに、｛ｘ∈a｜Ａ (a)｝ の形を集合とすることを提唱して--｛ｘ∈a｜Ａ (a)｝ の公理を 「分出公理」 というが--、集合を操作するための 9つの ルール を提示した。集合論が公理系として整理された。ツェルメロ の公理系に対して、フレンケル が 1つの公理を変更して公理系を整えた。この公理系を 「ZF の公理系」 という。
　ZF の公理系のなかで成立する集合を 「セット」 という。

　いっぽう、ラッセル は、述語論理を完成して、「タイプ 理論 （型の理論、階の理論）」 を提示した。ラッセル が提示した原初の理論を 「分岐タイプ理論」 といい、ラムゼー がそれを単純化して 「単純タイプ理論」 として整理した。ラッセル が提示した タイプ理論は、後々、2人の人物 （ウィトゲンシュタイン と ゲーデル） に多大な影響を及ぼすことになる。

　ノイマン は、記号論理の手法を使って、集合論の形式化を拡張した。ベルナイス と ゲーデル は、ノイマン の形式化を単純な形に整理した。この集合論を 「BG の公理系」 という。
　BG の公理系のなかで成立する集合が 「クラス」 である。

　以上の歴史が第 8章の伏線である。
　第 8章では、まず、ラッセル の タイプ理論を否定した ウィトゲンシュタイン の [ 前期の ] 思想を まとめた。
　ウィトゲンシュタイン が タイプ理論を否認するために提示した考えかたが以下の 2つである。
　　（1） 真理関数 （1つの複合命題は、いくつかの要素命題として解体できる）
　　（2） 写像理論 （現実の事態と命題の間には「共通の論理形式」がなければならない）

　数学の観点からすれば、以上の考え方は、「素朴」 すぎる。たとえば、量化記号を対象にしていないし、「無限」 の概念も考慮されていない。ウィトゲンシュタイン は、集合論 （つまり、「無限」 の概念） を認めてはいなかった。ウィトゲンシュタイン の関心は、「言語の意味は、いかにして成立するのか」 という点にあった。
　命題 （複合命題） が事態を写像していて、命題 （複合命題） は、いくつかの要素命題として解体できる、という考えかたを 「意味の対象説」 という。

　ただし、後々、ウィトゲンシュタイン は、以上の考えかたが間違いであったとして、新たな考え （[ 後期の ] 思想） を提示する。後期の思想では、言語ゲーム という考えかたが提示された。言語ゲーム の考えかたでは、以下の点が主張されている。
　　（1） 言語は世界との関係において意味をもつのではない。
　　（2） 言語行為を規制するのは文法規則である。
　　（3） 文法規則は、われわれ自身がきめる規約 （合意） である。

　ただし、ウィトゲンシュタイン が使う 「文法」 という意味は、言語学のなかで定義されている 「文法」 という意味よりも広い概念であり、「生活様式」 に近い概念である。言語ゲーム の考えかたとして、「規則に従う」 ということは、どういうことなのか、を検討吟味して、ウィトゲンシュタイン は、以下を主張した。
　　（1） 言葉の意味とは、言語ゲームにおける言葉の [ 現実的な・具体的な ] 使用である。
　　（2） 意志することは行為すること自体でなくてはならない。
　　　　（規則が行為を規制するのではなくて、行為が規則である。）

　言語ゲーム の考えかたを 「意味の使用説」 という。
　ウィトゲンシュタイン は、前期の思想と後期の思想では、180度の転回をした。

　いっぽう、ゲーデル は、ラッセル の タイプ理論を使って、「不完全性定理」 （「決定不可能な」 命題） を証明した。「不完全性定理」 では、40数個の原始帰納的関数が提示された。原始帰納的関数が計算可能関数として拡張されて、「アルゴリズム」 という概念が提示された。「アルゴリズム」 を具体的な機械構造 （コンピュータの原型） として提示した人物が チューリング である。

　
　さて、[ 事務系・基幹系の ] データベース構築を対象にした際、（データの構造を生成するためには） データ を記述している自然言語と コード体系を考慮しなければならない。
　小生は、20年前、コッド正規形を信奉していて、コッド正規形を日本のなかに普及しようとした。そして、モデル は 「数理モデル」 でなければならない、と思っていた。つまり、「意味論」 を無視していたのであった。しかし、データ を記述している言語は自然言語および コード体系である。したがって、「関数 （直積集合）」 を使って データ構造の モデルを構築しようとしても、データ の 「意味」 を無視して集合を生成することはできない。そのために、「統語論」 と 「意味論」 の扱いが悩ましい問題点として起こってきた。

　Ｔ字形 ER手法は、「統語論」 として 「真理関数」 の考えかたを継承しているが、「意味論」 として 「言語ゲーム」 の考えかたを導入した。自然言語・コード体系・（再利用可能な） データ構造という三位一体の対象を扱うには、そうせざるを得なかった。したがって、Ｔ字形 ER手法は、[ タイプ理論を否認して、] 言語の形態論の観点に立っている。
　その考えかたに至る ヒント となった ウィトゲンシュタイン の思想 （前期の思想と後期の思想） を、ゲーデル の思想と対比しながら、まとめたのが第 8章である。 □