本編では、「集合としての性質 （集合的）」 と 「個体としての性質 （周延的）」 を確認しています。

　数学 （集合論） では、「集合」 は、セット 概念として示されています。セット 概念を示した公理系が 「ZF の公理系 （ツェルメロ=フレンケル の公理系）」 です。ZF の公理系は、以下の特徴をもつ公理系です。

　（1） 等号 （＝） をふくむ第一階術語論理を使って形式化されている。
　（2） 9つの公理をもつ形式的体系である。
　（3） ∈ 以外の術語を使わない。

　9つの公理とは、以下を云います。

　（1） 外延性公理
　（2） 対の公理
　（3） 和集合の公理
　（4） ベキ 集合の公理
　（5） 空集合の公理
　（6） 無限集合の公理
　（7） 分出公理 （部分集合の公理）
　（8） 置換公理
　（9） 正則性の公理

　「セット」 概念の特徴になっている公理が 「分出公理 （部分集合の公理）」 です。すなわち、いきなり、巨大な集合を考えないで──「集合論」 を作った カントール が巨大な集合を考えたので、集合論のなかに、パラドックス が生まれたために、パラドックス を回避するために、いきなり、巨大な集合を考えないで──、ひとつの集合 （たとえば、a） を介在して、あまり大きくならない集合 （a よりも小さい集合） を ツェルメロ は導入しました。この部分集合の考えかたが 「分出公理」 です。「分出公理」 を第一階術語論理の論理式で示せば、以下の式になります。

　　　　{ x ∈ a | A (x) }. （正確に記述すれば、∀a ∃b ∀x { (x ∈ b) ←→ (x ∈ a) ∧ A (x) }.

　つまり、ツェルメロ は、{ x | x ∈ A } の代わりに、{ x ∈ a | A (x) } の形を集合としました。そして、集合 X の メンバー x について、判断 f (x) があって──この f は ∈ という術語ですが──、真を 1 とし、偽を 0 として、真理関数 I ＝ { 0, 1 } をとれば、f は I　への関数として考えることができます。そこで、f (x) ＝ 1 となる メンバー を集めれば集合 { x ∈ X | f (x) ＝ 1 } になる、というのが分出公理です。

　ただ、分出公理からは、{ a, b } とか a ∪ b とか集合族を導くことができないので、他の いくつかの ルール を公理化したのが ZF の公理系です。

　ZF の公理系のなかで、私が、特に注目した公理は──「分出公理」 は当然として、ほかに──「対の公理」 でした。「対の公理」 とは、2つの集合 （たとえば、a と b） があれば、その集合を メンバー とする集合 x が存在する、という公理です。つまり、a と b が集合なら、{ a, b } も集合である [ x は、{ a, b } のこと ] ということ。TM （Ｔ字形 ER手法） は、この公理を使って、「対照表」 を構成します。そして、「対の公理」 で構成された集合は、unordered pair （「並び」 が問われない） です。

　ツェルメロ の公理系に対して、フレンケル が 「置換公理」 を導入しました。「置換公理」 とは、x ∈ X について、f (x) があるなら、{ f (x) | x ∈ X } は集合になる、ということ。すなわち、ツェルメロ 流の 「和集合」 を 1つの集合として考える、ということです。単純に言い切れば、クラス 概念を セット 概念に流用したと云っても良いでしょう。

　A (u) を任意の集合的論理式とすれば、{ u | A (u) } の存在は、ZF の公理から得られない。 { u | A (u) } のことを、集合 （セット） と区別して、「クラス （class）」 とよびます。そして、{ u | A (u) } を任意の集合論的論理式として──ただし、クラス に対する束縛変更をふくまない論理式としますが──、以下を公理に加えます。

　　　　∃X ∀u { u ∈ X ≡ A (u) }. （ただし、X は、クラス に関する変数とします）

　この集合論的論理式を導入すれば、セット について── ∈ の代わりに──、「性質」 を語ることができます。そして、「性質」 を語るならば、当然ながら、以下の 2つの性質を考えなければならないでしょう。

　（1） 「集合」 に関する性質
　（2） 「メンバー」 に関する性質

　「集合に関する性質」 を 「集合的」 と云い、「メンバー に関する性質」 を 「周延的」 と云います。
　TM では、この考えかたを 「みなし概念」 のなかで使っています。

　ちなみに、TM の 「関係文法」 を生み出す契機になった公理が 「正則性公理」 です。「正則性公理」 とは、y ∈ x となる すべての y において成立するなら、そして、x でも成立するなら、すべての集合において成立する、ということ。たとえば、自然数 n − 1 について成立して、n でも成立するなら、すべての自然数において成立するということ。
　正確に言えば、「関係文法」 （あるいは、「event と resource」） を生み出す契機になったのは、「正則性公理」 ではなくて──「分出公理」 で範囲を限られた部分集合に対して、さらに、その外側にある集合を考えたときに、「正則性公理」 が適用できるかどうか、というのを考えたのではなくて──、「特徴関数」 「外点」 「閉包」 という点から考えて、或る集合 （event） の特徴関数が、他の集合 （resource） には適用できない、ということに気づいたのが契機でした。もっと正確に言えば、「特徴関数」 「外点」 「閉包」 は、検証のために使ったのであって、「関係文法」 が生まれた直接の原因は、「関係の対称性・非対称性」 という性質そのもの-の検討を通してでした。 □