● 同値関係

　数学では、「等しい」 という概念は、たぶん──小生は、数学の専門家ではないので （数学の体系を知っている訳ではないので）、推測でしか言えないが──、基本的な概念である、と思う。2つの モノ が等しいという関係、すなわち、「＝」 を使って記述される関係は、以下の性質を示している。

　　（1） どんな モノ も、自分自身と等しい （すなわち、任意の a について、a ＝ a）。
　　（2） a と b が等しいなら、b と a も等しい （a ＝ b → b ＝ a）。
　　（3） a と b と c が等しいなら、a と c も等しい （a ＝ b ∧ b ＝ c → a ＝ c）。

　以上に述べた 3つの性質を示す 2項関係を 同値関係 （equivalence relation） という。

　R を集合 A 上の同値関係とする。そのとき、メンバー a と R の関係にあるような、 A の メンバー 全体の集合を、（a をふくむ R に関する） 同値類 という。そして、a を同値類 [ a ]_R　の代表 メンバー という。ただし、R がわかっているなら、[ a ]_R を、単純に、[ a ] と略式に記述する。

　
　
● 分割 （partition、あるいは、類別）

　集合 A の部分集合の族を考えてみる （集合を メンバー とする集合のことを集合族という）。集合族 π が、以下の 2つの条件を満たすなら、π を A の分割 （partition） あるいは、類別 という。

　　（1） S ∈ π ∧ T ∈ π ∧ S ≠ T ⇒ S ∩ T ＝ φ.
　　（2） A ＝ ∪ S.
　　　　　　　　S∈π

　そして、分割 （類別） の メンバー である集合のことを 「類 （あるいは、ブロック）」 という。
　数式を使って記述すると、ややこしいように感じるかもしれないが、上述した式が示していることは、単純に言えば、以下の意味である。

　　（1） A は、「集合の集合」 である。
　　（2） π は、A の部分集合を集めた全体である。
　　（3） π は、S と T から構成される。
　　（4） S と T は、交叉しない。

　つまり、A は、同値関係によって、同値類 （S と T） を 「類」 として、類別されることを言っている。
　そして、A 上の同値関係 R による同値類全体の作る集合 （集合族 π） を A/R というふうに記述して、A の R による 商集合 という。

　
● 細分 （refinement）

　R₁　と R₂ が、A 上の同値関係である、とする。
　そして、∀ x, y ∈ A に対して、xRy₁　→ xRy₂ が成立するならば、R₁ は R₂ の 「細分」 である、という。
　すなわち、∀ x ∈ A について、[ x ]_R1 ⊆ [ x ]_R2 であり、R₂ の同値類は、R₂の同値類いくつかの和集合となる。言い換えれば、A/R₁　⊆ A/R₂ のこと。

　以上のような言いかたをすれば、ややこしいように感じるが、単純に言えば、A/R₁　と A/R₂ は、（同値関係だから、） 総数 （cardinality） が同じであって、A/R₁ は、A/R₂ を、さらに、こまかに、仕切った状態 （集合族） である、と考えればよい。

　
● 分割と細分を、Ｔ字形風に記述すれば...

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　　　　　　　　細分│　　　　　　　　　│
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