（1） ¬｛∀x P(x)｝＝∃x¬P(x).

　　（2） ¬｛∃x P(x)｝＝∀x¬P(x).

　上述の式を見てわかるように、全称命題 （条件 P の全称命題） の論理否定は存在命題 （条件 P を否定した存在命題） となります。自然言語と対比して云えば、たとえば、All of us are rich の否定は、It is not true that all of us are rich （＝ Not all of us are rich） [ すなわち、¬｛∀x P(x)｝ ] という 「部分否定」 になるということです。全称の論理否定は、反例を示すときに使われる論法ですね。

　全称命題の 「全部否定」 は、∀x¬P(x) です──これは、条件 P を否定した全称命題であって、全称命題の否定形ではないことに注意してください。∀x¬P(x) は、¬｛∃x P(x)｝ （条件 P を満たすものは存在しない） と同値です。先の自然言語の例でいえば、None of us are rich ということ。

　以上を まとめると──

　　（1） ¬｛∀x P(x)｝ （全称命題の否定形）　It is not true that all of us are rich.

　　　　　∃x¬P(x) （条件 P を否定した存在命題 [ 部分否定 ] ） Not all of us are rich.

　　（2） ∀x¬P(x) （条件 P を否定した全称命題 [ 全部否定 ] ） None of us are rich.

　この文を綴っていたら、高校の英語で all...not の 「意味」 を習ったことを思い出しました。さて、次の英文は、全部否定か部分否定か、、、

　　　　All will not go.

　　　　All those books are not good.